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  programmes MuPAD  -  24/03/06

  Méthodes énergétiques : théorème de Castigliano

     Yves DEBARD

     Institut Universitaire de Technologie du MANS
     Département Génie Mécanique et Productique
     Avenue Olivier Messiaen
     72085 LE MANS CEDEX 9

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// Exercice 1 : étude d'une poutre console soumise à un effort normal

// initialisation

reset():

// effort normal dans la section d'abscisse x

N:=F+q*(L-x);

// énergie de déformation

dEdef:=N^2/(2*EA);
Edef:=int(dEdef,x=0..L);

// déplacement du noeud 2

u2:=simplify(diff(Edef,F));

// déplacement de la section d'abscisse x

N0_x:=F+q*(L-s)+Q;
Nx_L:=F+q*(L-s);

Edef:=int(N0_x^2,s=0..x)+int(Nx_L^2,s=x..L):
Edef:=simplify(Edef/(2*EA));

ux:=diff(Edef,Q);

ux:=subs(ux,Q=0);

subs(ux,x=L);



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// Exercice 2 : étude d'une poutre console

reset(): // initialisation

// efforts dans la section d'abscisse x

Ty:=F;
Mfz:=F*(L-x);

// énergie de déformation

ET:=int(Ty^2/(2*G*A*ky),x=0..L);
EMfz:=int(Mfz^2/(2*E_*Iz),x=0..L);
Edef:=ET+EMfz;

// déplacements du noeud 2

v2T:=diff(ET,F);v2:=diff(Edef,F);
rotz2T:=diff(ET,M);rotz2:=diff(Edef,M);

// influence de l'effort tranchant

G:=E_/2/(1+nu);
ky:=10*(1+nu)/(12+11*nu);
plotfunc2d(ky,nu=0..0.5);
A:=b*h:
Iz:=b*h^3/12:

L:=x*h:

f:=simplify(v2T/v2);

f1:=subs(f,nu=0);f2:=subs(f,nu=0.25);f3:=subs(f,nu=0.5);
plotfunc2d(f1*100,f2*100,f3*100,x=3..20);


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// Exercice 3 : étude d'une poutre console

// initialisation

reset():export(linalg):

// efforts dans la section d'abscisse x

Ty:=F+p*(L-x);
Mfz:=M+F*(L-x)+p*(L-x)^2/2;

// énergie de déformation

dEdef:=Ty^2/(2*GAky)+Mfz^2/(2*EIz);
Edef:=int(dEdef,x=0..L);

// déplacements du noeud 2

u2:=grad(Edef,[F,M]);simplify(u2);

// matrice de souplesse

C:=hessian(Edef,[F,M]);
// ou
C:=jacobian(u2,[F,M]);

// matrice de rigidité

K:=C^-1;

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// Exercice 4 : étude d'une poutre console

reset(): // initialisation

// efforts dans la section d'abscisse x

Ty:=F+q*(L-x);
Mfz:=M+F*(L-x)+q*(L-x)^2/2;

// énergie de déformation

ET:=int(Ty^2/(2*G*A*ky),x=0..L);
EMfz:=int(Mfz^2/(2*E_*Iz),x=0..L);
Edef:=ET+EMfz;

// déplacements du noeud 2

v2T:=diff(ET,F);v2:=diff(Edef,F);
rotz2T:=diff(ET,M);rotz2:=diff(Edef,M);
F:=0;M:=0;
v2;rotz2;

// influence de l'effort tranchant

G:=E_/2/(1+nu);
ky:=10*(1+nu)/(12+11*nu);
A:=b*h:
Iz:=b*h^3/12:

L:=x*h:

f:=simplify(v2T/v2);

f1:=subs(f,nu=0);f2:=subs(f,nu=0.25);f3:=subs(f,nu=0.5);
plotfunc2d(f1*100,f2*100,f3*100,x=3..20);



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// Exercice 5 : étude d'un arc plan

reset(): // initialisation de la mémoire

angle_arc:=3*PI/2;

assume(EA>0):assume(EIz>0):assume(GAk>0):

// efforts dans la section phi

c:=cos(phi):s:=sin(phi):

N:=Fx*s-Fy*c;
T:=Fx*c+Fy*s;
Mfz:=(Fx*s+Fy*(1-c))*R+Mz;

// énergie de déformation

EN:=int(N^2/(2*EA)*R,phi=0..angle_arc);
ET:=int(T^2/(2*GAk)*R,phi=0..angle_arc);
EMfz:=int(Mfz^2/(2*EIz)*R,phi=0..angle_arc);
Edef:=EN+ET+EMfz;

// déplacement

u2:=diff(Edef,Fx);

v2:=diff(Edef,Fy);

rotz2:=diff(Edef,Mz);


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// Exercice 6 : étude d'un arc plan

// initialisation

reset():

// angle de l'arc

angle_arc:=3*PI/2;

assume(E_>0):assume(A>0):assume(Iz>0):assume(k>0):

// efforts dans la section théta

N:=F*sin(phi);
T:=F*cos(phi);
Mfz:=F*R*sin(phi);

// énergie de déformation

EN:=int(N^2/(2*E_*A)*R,phi=0..angle_arc);
ET:=int(T^2/(2*G*k*A)*R,phi=0..angle_arc);
EMfz:=int(Mfz^2/(2*E_*Iz)*R,phi=0..angle_arc);
Edef:=EN+ET+EMfz;

// déplacement

vN:=diff(EN,F);
vT:=diff(ET,F);
vMfz:=diff(EMfz,F);

v:=vN+vT+vMfz;

// influence de l'effort normal et de l'effort tranchant

G:=E_/2/(1+nu);
k:=5/6;
//k:=10*(1+nu)/(12+11*nu);
A:=b*h:
Iz:=b*h^3/12:

R:=x*h:

fnor:=simplify(vN/v);
ftra:=simplify(vT/v);

f1:=subs(ftra,nu=0);f2:=subs(ftra,nu=0.25);f3:=subs(ftra,nu=0.5);
plotfunc2d(f1*100,f2*100,f3*100,x=2..10);

nu:=0.25;

plotfunc2d(fnor*100,ftra*100,x=2..10);

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