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  programme MuPAD  -  24/03/06

  Dépouillement d'une rosette d'extensométrie

     Yves DEBARD

     Institut Universitaire de Technologie du MANS
     Département Génie Mécanique et Productique
     Avenue Olivier Messiaen
     72085 LE MANS CEDEX 9

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reset():export(linalg):

// matériau

E_:=210000;     // module de Young
nu:=0.27;      // coefficient de Poisson
G:=E_/2/(1+nu): // module d'élasticité transversal

// angle de la rosette en degrés

phi:=45;

// allongements unitaires mesurés

ea:=-100E-6;
eb:=-450E-6;
ec:=400E-6;

// allongement unitaire dans la direction théta

epsilon_n:=proc(theta)
    local nx,ny;
  begin
    nx:=cos(theta):ny:=sin(theta):
    exx*nx*nx+eyy*ny*ny+gxy*nx*ny:
  end:

// calcul des déformations exx , eyy et gxy
// l'axe x est l'axe de la jauge a

phi:=phi*PI/180:
numeric::solve({ea=epsilon_n(0),eb=epsilon_n(phi),ec=epsilon_n(2*phi)},{exx,eyy,gxy}):
assign(op(%)):

// calcul des contraintes et de ezz

c:=E_/(1-nu^2):
sxx:=c*(exx+nu*eyy):
syy:=c*(eyy+nu*exx):
sxy:=G*gxy:
ezz:=-nu/E_*(sxx+syy):

// tenseur des contraintes

sigma:=matrix(3,3,[[sxx,sxy,0],[sxy,syy,0],[0,0,0]]);

// contraintes principales

d:=0.5*(sxx+syy):r:=0.5*sqrt((sxx-syy)^2+4*sxy^2):
S1:=d+r;S2:=d-r;S3:=0;

// angle en degrés de la direction principale 1 avec la jauge a

t1:=float(arctan((S1-sxx)/sxy)*180/PI);

// tenseur des déformations

epsilon:=matrix(3,3,[[exx,1/2*gxy,0],[1/2*gxy,eyy,0],[0,0,ezz]]);

// déformations principales

EP:=eigenvalues(epsilon);

// déformation volumique dV/V

dV_V:=tr(epsilon);

// contrainte équivalente de Von Mises

Von_Mises:=sqrt(S1^2+S2^2-S1*S2);

// contrainte équivalente de Tresca

Tresca:=max(S1,S2,0)-min(S1,S2,0);

// cisaillement maximal

tau_max:=0.5*Tresca;

// énergie de déformation par unité de volume en MPa

energie:=0.5*(sxx*exx+syy*eyy+sxy*gxy);
// ou
energie:=0.5*tr(sigma*epsilon);