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  programmes MuPAD  -  24/03/06

  Méthode des éléments finis : élasticité plane

     Yves DEBARD

     Institut Universitaire de Technologie du MANS
     Département Génie Mécanique et Productique
     Avenue Olivier Messiaen
     72085 LE MANS CEDEX 9

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  Eléments iso-paramétriques

  Calcul des fonctions d'interpolation et de leurs dérivées

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tri3_int  : triangle à 3 noeuds

reset():export(linalg):

n:=3;

// base polynomiale

P:=(xi,eta)->[1,xi,eta];

// coordonnées nodales

xi_nod:=[0,1,0]:
eta_nod:=[0,0,1]:

C:=matrix([P(xi_nod[i],eta_nod[i]) $ i=1..n]);

// fonctions d'interpolation

N:=matrix(1,3,P(xi,eta))*C^-1;

dNxi:=map(N,diff,xi);
dNeta:=map(N,diff,eta);

-----------------------------------

tri6_int : triangle à 6 noeuds

reset():export(linalg):

n:=6;

// base polynomiale

P:=(xi,eta)->[1,xi,eta,xi*xi,eta*eta,xi*eta];

// coordonnées nodales

xi_nod:=[0,1/2,1,1/2,0,0]:
eta_nod:=[0,0,0,1/2,1,1/2]:

C:=matrix([P(xi_nod[i],eta_nod[i]) $ i=1..n]);

// fonctions d'interpolation

N:=matrix(1,6,P(xi,eta))*C^-1;

N:=map(N,factor);

dNxi:=map(N,diff,xi);
dNeta:=map(N,diff,eta);

------------------------------------

quad4_int : quadrangle à 4 noeuds

reset():export(linalg):

n:=4;

// base polynomiale

P:=(xi,eta)->[1,xi,eta,xi*eta];

// coordonnées nodales

xi_nod:=[-1,1,1,-1]:
eta_nod:=[-1,-1,1,1]:

C:=matrix([P(xi_nod[i],eta_nod[i]) $ i=1..n]);

// fonctions d'interpolation

N:=matrix(1,4,P(xi,eta))*C^-1;

N:=map(N,factor);

dNxi:=map(N,diff,xi);
dNeta:=map(N,diff,eta);

------------------------------------

quad8_int : quadrangle à 8 noeuds

reset():export(linalg):

n:=8;

// base polynomiale

P:=(xi,eta)->[1,xi,eta,xi*eta,xi^2,eta^2,xi^2*eta,xi*eta^2];

// coordonnées nodales

xi_nod:=[-1,0,1,1,1,0,-1,-1]:
eta_nod:=[-1,-1,-1,0,1,1,1,0]:

C:=matrix([P(xi_nod[i],eta_nod[i]) $ i=1..n]);

// fonctions d'interpolation

N:=matrix(1,8,P(xi,eta))*C^-1;

N:=map(N,factor);

dNxi:=map(N,diff,xi);
dNeta:=map(N,diff,eta);

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quad9_int : quadrangle à 9 noeuds

reset():export(linalg):

n:=9;

// base polynomiale

P:=(xi,eta)->[1,xi,eta,xi*eta,xi^2,eta^2,xi^2*eta,xi*eta^2,xi^2*eta^2];

// coordonnées nodales

xi_nod:=[-1,0,1,1,1,0,-1,-1,0]:
eta_nod:=[-1,-1,-1,0,1,1,1,0,0]:

C:=matrix([P(xi_nod[i],eta_nod[i]) $ i=1..n]);

// fonctions d'interpolation

N:=matrix(1,9,P(xi,eta))*C^-1;

N:=map(N,factor);

dNxi:=map(N,diff,xi);
dNeta:=map(N,diff,eta);